Funciones trigonométricas y logaritmos complejos.
De la identidad de Euler, $$e^{iz}=\cos{z}+i\sin{z}\ \ \ y\ \ \ \ \ e^{-iz}=\cos{z}-i\sin{z}$$ Sumando y restando estas ecuaciones se obtiene, $$+\begin{matrix}e^{iz}=\cos{z}+i\sin{z}\\\underline{e^{-iz}=\cos{z}-i\sin{z}}\\e^{iz}+e^{-iz}=2\cos{z}\\\end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\begin{matrix}e^{iz}=\ \ \ \ \ \cos{z}+i\sin{z}\\\underline{e^{-iz}=-\cos{z}-\sin{z}}\\e^{iz}-e^{-iz}=2i\sin{z}\\\end{matrix}$$ y despejando las funciones \(\cos{z}\) y \(\sin{z}\) se concluye que seno y coseno del complejo \(z\) $$\cos{z}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\ \ \ \ \ \ \sin{z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$ Las cuales cumplen las identidades de senos y cosenos pitagóricas, pares e impares y reciprocas, las cuales permiten escribir las demás funciones trigonométricas.
Ejemplo. \(\tan{z}\). Escribir las función \(\tan{z}\) en su forma exponencial.
Solución: de las expresiones para el seno y coseno de un complejo.
$$\tan{z}=\frac{\sin{z}}{\cos{z}}\Longrightarrow\tan{z}=\frac{\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}{\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}$$
Ejemplo. Identidad pitagórica. Demostrar que \({cos}^2{z}+{sin}^2{z}=1.\)
Solución: sustituyendo las funciones por sus valores se tiene.
\begin{align}
&\left(\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\right)^2+\left(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\right)^2=1\\
&\frac{{(e^{iz}+e^{-iz})}^2}{4}+\frac{{(e^{iz}+e^{-iz})}^2}{4i^2}=1\\
&\frac{e^{2iz}+2e^{iz}e^{-iz}+e^{-2iz}}{4}+\frac{e^{2iz}-2e^{iz}e^{-iz}+e^{-2iz}}{-4}=1\\
&\frac{e^{2iz}}{4}+\frac{2e^0}{4}+\frac{e^{-2iz}}{4}-\frac{e^{2iz}}{4}+\frac{2e^0}{4}-\frac{e^{-2iz}}{4}=1\\
&\frac{2}{4}+\frac{2}{4}=1\ \ \ \ \ l.q.q.d.\end{align}
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Logaritmo de un complejo.
Ahora es tiempo de estudiar otras de las funciones trascendentes complejas, la función logarítmica. Como se verá a continuación en el campo de los complejos si existe el logaritmo de un número negativo. Sea z=re^{i\phi} un complejo cualquiera no nulo, entonces, tomando logaritmos en ambos miembros se puede escribir, \log_a{z}=\log_a{\left(re^{i\phi}\right)} \log_a{z}=\log_a{e^{i\phi}}+\log_a{r} Por ser \log_a{(uv)}=\log_a{u}+\log_a{v} \log_a{z}=i\phi\log_a{e}+\log_a{r} Por ser \log_a{\left(u^n\right)}=n\log_a{u} \log_a{z}=i\phi\log_a{e}+\log_a{e}\ln{r} Por propiedad de cambio de base. Factorizando ahora el resultado anterior se llega a la expresión, Logaritmo del complejo \mathbit{z}=\mathbit{r}\mathbit{e}^{\mathbit{i}\mathbf{\phi}} \log_a{z}=\log_a{e}\left(i\phi+\ln{r}\right) (1.19) Debido a que debido para cualquier ángulo \theta=2n\phi donde n es un entero positivo, la afirmación anterior también es verdadera, cuando se toma el ángulo \phi como el menor ángulo de inclinación al eje x positivo del radio vector dibujado desde el punto que representa el complejo al origen de coordenadas, esto es \pi < \phi\le\pi la expresión anterior es llamada valor principal del logaritmo de z y se suele escribir en con mayúscula como {\rm Log}_a{z}=\log_a{e}\left(i\phi+\ln{r}\right), sin embargo, en este texto no se hará está diferencia sino por considerarla no necesaria para este curso. Además, note que si z=k es un número real, la expresión \log_a{z}=\log_a{e}\left(i\phi+\ln{r}\right) da como resultado \log_a{k}=\log_a{e}\ln{k} como era de esperarse, lo cual no es más que la propiedad de cambio de base de los logaritmos. Logaritmo natural de un complejo. Si en \log_a{z}=\log_a{e}\left(i\phi+\ln{r}\right) se toma la base a=e la expresión se transforma en: Logaritmo natural del complejo \mathbit{z}=\mathbit{r}\mathbit{e}^{\mathbit{i}\mathbf{\phi}} \ln{z}=\phi i+\ln{r} (1.20) Ejemplo. Determinar el logaritmo natural de z=i. Solución: se debe escribir z=0+i en forma z=re^{i\phi} donde r=\left|z\right|=1 \phi=\tan^{-1}{\frac{1}{0}}\ \ que\ no\ está definida y por tanto ϕ=π2 de donde z=eiπ/2 \ln{z}=\frac{\pi i}{2}+ln\left(1\right)=\ln{z}=\frac{\pi i}{2} Por tratase de un curso fuera del alcance del cálculo las propiedades específicas de las formas exponenciales y logarítmicas no serán discutidas en el texto. estas podrán ser abordadas en un curso de análisis complejo en los programas de aquellas carraras que así lo requieran, sin embargo, por ahora basta recordar que en los complejos se cumplen las propiedades de los exponentes y los logaritmos que han sido estudiadas con ligeras exenciones que serán escrita si se requieren, pero sin la restricción de los números negativos. A continuación, se muestran dos ejemplos más de logaritmos naturales de complejos solo con la finalidad de que el lector no se quede con un único ejemplo resuelto. Ejemplo. Determinar el logaritmo natural para z_1=-1 y z_2=2i. Solución: se escriben los complejos en la forma z=re^{i\phi} para así aplicar \ln{z}=\phi i+\ln{r} esto es z_1=e^{i\pi} y z_2=e^{i\pi/2} de donde, \ln{z_1}=\pi i\ \ \ \ y\ \ \ \ \ \ln{z_2}=\frac{\pi i}{2}+\ln{2} Ejemplo Determinar el logaritmo vulgar del complejo z=3-\sqrt3i Solución: escribiendo en la forma polar z=2\sqrt3e^{-i\pi/6} y aplicando \log{z}=\log{e}\left(i\phi+ln{r}\right) para \phi=\pi/6 y r=2\sqrt3. \log{z}=\log{e}\left(-\frac{\pi i}{6}+ln{\left(2\sqrt3\right)}\right)\approx0.594-2.27i